Geometria analítica - A Reta

O Roccia já iniciou a sequência de resumos sobre geometria analítica, se ainda não conferiu, clique aqui para ler a primeira parte, pois será requisito/complemento para entender o que vem a seguir.

INTERSEÇÃO DE RETAS

Pensando logicamente, duas retas se encontrarão quando a equação de ambas, simultaneamente, satisfaça um mesmo ponto, ou seja, basta fazer um sisteminha.

Com sua resolução, pode-se definir três tipos de sistemas:

Sistema possível e determinado (SPD)

Uma única solução, um único ponto de encontro.

Sistema possível e indeterminado (SPI)

Infinitas soluções, retas coincidentes.

Sistema impossível (SI)

Não existe solução, retas paralelas.

INCLINAÇÃO DE UMA RETA

Coeficiente angular, paralelismo e perpendicularidade

Representa a declividade m de uma reta, facilmente identificada pela tangente do ângulo.

Logo,

Analisando pelo gráfico,

Logo, se duas retas possuem o mesmo m, elas são paralelas, e se forem perpendiculares, a multiplicação de seus m's = -1.

Pelo exemplo acima podemos generalizar a última propriedade utilizando um triângulo isósceles, formado por 2 retas perpendiculares e com ângulos internos iguais a 45º.

Relembrando: as relações tangenciais dos ângulos dos quadrantes pares são negativas, pois comparam-se em relação ao eixo x, como se fossem o 1º quadrante, porém com sinal trocado:

1º quadrante: x > 0 < y

2º quadrante: x < 0 < y

3º quadrante: x < 0 > y

4º quadrante: x > 0 > y

Logo,

EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA

A partir do momento em que se conhece o coeficiente angular de uma reta não vertical (tangente diferente de 90º), podemos "abrir" os termos de m e chegar à uma equação:

Lembrando que n é o cieficiente linear (ordenada do ponto que corta o eixo y), assim:

Podemos ainda relacionar a equação reduzida com a equação geral, revelando então, novas propriedades:

Logo,

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Conhecendo a equação de uma reta r, pode-se obter o coeficiente angular de uma outra reta s imaginária, que passa por um ponto P.

Com o m da segunda reta, descubra a equação reduzida e faça um sistema com a equação da outra reta, descobrindo o ponto em que se interceptam (como no primeiro item desse post). Depois disso, basta calcular a distância entre os dois pontos.

Até que chegará na seguinte equação final:

INEQUAÇÕES DO 1º GRAU - RESOLUÇÃO GRÁFICA

Temos 2 casos de possíveis retas que dividem um plano em relação ao eixo x (ou y): paralelas e concorrentes. Tomando a equação dessas, podemos mostrar em qual parte do gráfico se encontram os pontos.

1º CASO

Retas horizontais à x

Seja a equação da reta r: y - 1 = 0, então y = 1 e todos os pontos acima de r possuem ordenadas maiores ou iguais a 1, e todos os pontos abaixo, ordenadas menores ou iguais a 1, logo,