Geometria analítica - Exercícios resolvidos

Atualizado em 06/04/2016

Agora que o Roccia já criou um modelo de resolução de exercícios, me basearei no mesmo, postando algumas fórmulas e após, o desenvolvimento das questões. Vale lembrar que um resumo sobre essa parte da matéria já foi lançado (clique aqui para ver sobre distância entre dois pontos, coordenadas do ponto médio, equação geral da reta: alinhamento de três pontos, equação reduzida da reta e área de um triângulo no plano cartesiano).

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (DDP)

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

 ÁREA DE UM TRIÂNGULO

RAZÃO DA DIVISÃO DE UM SEGMENTO EM PARTES IGUAIS

BARICENTRO DO TRIÂNGULO (encontro das três medianas)

Exercícios do livro Matemática: ciência e aplicações - Volume 3, ensino médio

(Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo, Nilza de Almeida)

Páginas 15,19 e 20

14. g,h,i

15, 16, 18, 19, 20

29. e,f

30, 31, 32

35. a

36, 37, 38, 39, 40, 41, 42

14) Encontre a distância entre os pontos dados

Aqui não tem mistério, basta utilizar a fórmula da distância entre dois pontos:

g) L(-4, 3) e M(-4, -7)

h) N(√2, -√2) e P(-√2, √2)

i) Q(1, 3) e R(-3, 3)

15) Calcule o perímetro do triângulo ABC, sendo A(1, 0), B(3 7), C(-2, 4).

Utilizando o mesmo princípio do exercício anterior, temos que calcular o tamanho de cada lado pela distância entre seus vértices:

Obs.: 2p é uma convenção para perímetro, pois em algumas fórmulas na geometria é utilizado apenas o semiperímetro, sendo mais fácil utilizar 'p' do que 'p/2'.

16) O ponto B tem ordenada nula e dista 5 de A, que possui ambas as coordenadas iguais a 4. Ache a abscissa de B.

Pelos dados do exercício temos que A(4, 4) e B (a, 0), e utilizando pitágoras (é mais rápido, porém a fórmula de distância entre dois pontos funciona) temos que:

Agora existem duas opções possíveis: podemos imaginar que o ponto estará para cima (soma com o valor atual de yA), ou para baixo (subtrai do valor de yA).

18) Os pontos A(3m+1, 15) e B(m, 3) pertencem ao 2º quadrante e a distância entre eles é igual a 13. Qual é o valor de m?

Novamente a mesma fórmula de DDP (tanto exercício idêntico, é pra nunca mais esquecer):

Analisando a posição dos pontos, percebe-se que m só pode ser negativo, já que está no segundo quadrante:

19) Determine o perímetro do quadrilátero ABCD.

Analisando a fígura temos que A(3, 3) B(-4, 2) C(-2, -2) D(4, -4), então:

20) O centro de uma circunferência é o ponto (-1, 3). Sabendo que o ponto (2, 5) pertence à circunferência, determine a medida de seu diâmetro.
Denominei o primeiro ponto de O, centro a circunferência e o segundo como B, apenas por comodidade.

Obs.: 2r = Diâmetro.

29) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos:

e) I(4, 10) e J(10, -4)

 f) L(3, -4) e M(3, 2)

30) Se (2,3) é ponto médio de AB, com A(n 5) e B (4, m), quanto vale m + n?

31) Os pontos A(2, -4), B(-2,1) e C(-4, 5) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.

32) O Ponto P(7, -3) pertence a uma circunferência de centro (4, 2). Determine o ponto diametralmente oposto a P.

Imagine que o seja uma semicircunferência, e trace um triângulo utilizando como base o raio, e como a ponta, o vértice P. Calcule a altura em relação à P, e depois some com o eixo y do ponto central. Se você reparou, isso pode ser feito sem pensar muito, trata-se apenas de calcular a diferença entre cada eixo dos dois pontos e depois somar ou subtrair do centro (faça um esboço para essa análise).

 35) Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (-2, -5). Determine:

a) as coordenadas de seu baricentro:

Simples, utilize a fórmula:

É válido lembrar que não se deve decorar, mas compreender porque se faz assim...

36) M(1, 2), N(5, -2) e P(3, -4) são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC. Ache as coordenadas dos vértices desse triângulo.

Começe pela fórmula de ponto médio invertida, pois você já tem esse valor. Após, apenas substitua as equações: ii em iii, e depois, iii em i.

37) Os pontos (2, 3), (5, -1) e (1, -4) são vértices de um quadrado.

Antes, de começar, vale definir uma letra para cada ponto, mas sugiro fazer um esboço antes. Escolhi A, B e C, respectivamente e precisamos encontrar o ponto D.

a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?
b) Qual é a medida do lado desse quadrado?

Podemos igualar a distância entre dois pontos quaisquer e o vértice D, já que se trata de vértices de um quadrado. No meu caso, escolhi o primeiro e o terceiro.

Essa equação será importante quando quando formos calcular a diagonal BD, substituindo o valor de x para resolver a equação com uma única incógnita, y.
Como não sabemos qual a coordenada do ponto D, calculemos o lado do retângulo para saber a diagonal (não precisaria disso, mas já serve de resposta para o item b).

Perceba que o ponto (12, -2) é inviável analisando o esboço, mas se quiser comprovar, fique à vontade para usar a fórmula da distância entre dois pontos.

38) Na figura, o triângulo de vértices A(6, 0), O(0, 0) é um retângulo, e sua hipotenusa mede 8. Determine:

a) as coordenadas de B:

Um pitágoras básico...

b) a medida da mediana relativa à hipotenusa:

Fórmula! Já aprendeu?

c) o baricentro do triângulo e sua distância à origem:

E essa?

39) Determine o ponto simétrico de (2, -3) em relação a (5, 1/2).

Apenas pense que o segundo ponto é uma mediana, e calcule o ponto equidistânte desse em relação ao primeiro.

40) Dados A(-13, -1) e B(3, 5), ache as coordenadas dos pontos que dividem AB em quatro partes iguais.

Em primeiro lugar, analise a razão:

E depois some acumulativamente os valores a partir do ponto A, ou multiplique a razão pelo número de partes e some com o ponto A.

 41) Na figura, o triângulo ABC é equilátero, e seu lado mede 4cm. Determine:

a) as coordenadas de C:

Monte um sistema com as medidas dos lados (DDP).

b) a área do triângulo ABC:

Relembre que a altura de um triângulo equilátero é (Lado * √3)/2.

42) Sendo A(2, 1) e B(3, 4), qual é o ponto "final" do prolongamento do segmento AB (no sentido de A para B), de modo que o comprimento de AB:

a) duplique?

b) quadruplique?

Basta calcular a razão e fazer exatamente como o exercício 40.

Bem, postzinho longo mas acredito que está detalhado mais que o suficiente, ainda assim, se tiver dúvidas sinta-se à vontade para perguntar, aqui ou no colégio, que tentamos dar um jeito :)

P.S.: Aproveita e estuda enquanto a matéria está fácil!