Geometria Analítica - Exercícios Resolvidos II

A resolução dos exercícios 43 c f, 44, 45, 46 e dos exercícios passados na lousa estão presentes neste post, juntamente com as fórmulas utilizadas nas resoluções.

FÓRMULAS

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS (DDP)

PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO

ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS

BARICENTRO DO TRIÂNGULO (encontro das três medianas)

QUESTÕES DA LOUSA

1) Onde tenha os vértices de um triângulo sendo dados os pontos médios dos lados M(a , 0), N(3a , 0) e P(2a , a).

Utilizando a fórmula do ponto médio:

Fazendo isso com os três pontos, obtém-se um sistema:

Somando as três equações:

Assim, é só substituir a soma de alguma das duas variáveis pelo seu resultado em "a", e assim descobrir o valor de cada uma:

Então, é só fazer a mesma coisa para encontrar os valores de "h", "d" e "f":

Assim, os vértices do triângulo são:

2) Determine o centro e o raio da circunferência que passa por A(1 , 3), B(5 , 1) e C(4 , 4).

Como as três distâncias são iguais, pode-se simplesmente iguala-las e botar em um sistema:

Resolvendo o sistema, descobre-se as coordenadas do centro:

Substituindo tais valores na fórmula de distância entre pontos, descobre-se o raio:

3) Obtenha um ponto que dista 5u da origem e dista  do ponto A(6 , 8)

Deve-se apenas utilizar a fórmula da distância para descobrir duas equações com x e y, para então achar seus valores a partir de um sistema:

Resolvendo o sistema, obtém-se dois pontos:

4) Determine o vértice C de um triângulo de vértices A(-1 , 3), B(5 , 1) e o baricentro G(5/3 , -1/3).

Para descobrir as coordenadas de C, utiliza-se a fórmula do Baricentro:

5) Dois lados de um triângulo têm pontos médios M(11 , 1) e N(15/2 , -1/2) e o baricentro G(10 , -1). Obtenha os vértices do triângulo.

Utilizando a fórmula das médias com M e N junto a fórmula do Baricentro, tem-se dois sistemas:

Logo:

6) Determine o baricentro do triângulo formado pelas três retas dadas em cada caso:

A) 

(r) x + y = 18

(s) x - y = 2

(t) 3x + 4y = 12

Para descobrir os pontos de intersecção entre as retas, é necessário colocar suas funções em um sistema.

Ponto de intersecção das retas s e t:

Ponto de intersecção das retas r e s:

Ponto de intersecção das retas r e t:

Estes pontos formam um triângulo:

Cujo baricentro é:

B)

(r) (x/6) + (y/12) = 1

E os eixos coordenados

Os pontos de intersecção da reta "r" com os eixos coordenados são pontos onde o x vale zero ou o y vale zero. E a intersecção entre os eixos coordenados é o ponto de origem. Assim:

C)

(r) 8x - 7y = 6

E as bissetrizes dos quadrantes

Os pontos de intersecção da reta "r" com as bissetrizes dos quadrantes podem ser encontradas contando como x=y e como x+y=0. A intersecção das bissetrizes dos quadrantes é o ponto de origem. Assim:

7) Obtenha o centro da circunferência circunscrita ao triângulo formado pelas retas

(r) x + y = 2

(s) x - y = 0

(t) 2x + y = 12

O centro da circunferência circunscrita ao triângulo é nada mais que o baricentro do mesmo. Então:

Após descobrir as coordenadas dos três vértices, é só aplicar na fórmula do baricentro:

8) Qual é o ponto equidistante de A(3 , 6), B(2 , 7) e C(-1 , -2)?

Primeiro, calcula-se as distâncias:

Depois, é só colocar as duas equações em um sistema e descobrir os valores:

Resolvendo o sistema, obtém-se o resultado:

EXERCÍCIOS DO LIVRO

43) Verifique se estes pontos estão alinhados.

C) (1 , 5), (-3 , 2) e (-7 , 1)

Aplica na fórmula do alinhamento de três pontos:

F) (-2 , 3), (0 , 0) e (-3 , 2)

Aplica na fórmula do alinhamento de três pontos:

44) Para que valor de m os pontos (3 , 1), (m , 2) e (0 , -2) são colineares?

Aplica na fórmula do alinhamento de três pontos e iguala o resultado a 0:

45)Ache um ponto que esteja alinhado com P(3 , 5) e Q(-1 , -3).

Aplica na fórmula do alinhamento de três pontos e iguala o resultado a 0:

Logo, todo ponto que obedece a função simplificada acima está alinhado com P e Q.

46) Para que valores reais de k os pontos (6 , k), (3 , 4) e (2 - k , 2) estão alinhados?

Fazendo Bhaskara, encontra-se os resultados: