Geometria Analítica: ângulo entre retas - Exercícios resolvidos

Atualizado em 04/05/2015.
Observação: post incompleto! Disponibilizei agora para os aventureiros que quiserem conferir alguma coisa.
Falta o exercício 9.

1. Calcule o ângulo entre as retas

a) 

r: y = √3x + 1

s: y = √3x - 1

Nesse exercício vamos basicamente utilizar a relação de coeficiente angular, que é a variação de y pela variação de x, ou no caso da equação geral (ax+by+c), -a/b.

Como os coeficientes angulares de r e s são iguais, as retas são paralelas e não se cruzam.

b)

r: 2x - 2y - 3 = 0

s: 2y + 10 = 0

Quando uma das retas é paralela ao eixo, nesse caso a reta s (paralela ao eixo x, já que não existe coeficiente a), a tg do ângulo formado pela sua intercessão com a outra será dada pelo inverso do módulo do coeficiente angular da outra reta.

Por padrão utilizaremos a letra grega Teta para representar os ângulos entre 2 retas quaisquer.

c)

r: 5x - 7 = 7

s: x + √3y + 2√3 = 0

d) 

r: x - y - 1 = 0

s: x - 1 = 0

2. Conduza pelo ponto E(0,0) as retas que formam 45º com a reta 5x - y - 10 = 0.

Nesse exercício podemos utilizar uma propriedade interessante para a reta que forma 45º com 5x - y -10: a fórmula de tangente do ângulo formado por 2 retas com coeficientes definidos.

Descobrir o m da reta data é fácil, basta transformar essa equação em sua forma reduzida y = mx + n, que mostrará que m = -a/b.

Agora, a relação de inclinação entre duas retas concorrentes:

Agora abrimos a fórmula do m -que é a variação de y pela variação de x- para utilizarmos o yoyo-mixoxô e descobrir a equação das retas requeridas.

3. Conduza pelo ponto P(-1,-2) as retas que formam 45º com a reta y - 3 = 0.

A reta dada é paralela ao eixo x, assim, como vimos no exercício 1, a tg do ângulo que forma 45º com ela será dada pelo inverso do coeficiente angular da outra reta.

4. Conduza pelo ponto P(2,1) as retas que formam 45º com a reta x - 1 = 0.

Semelhante ao exercício 3, a reta dada é paralela ao eixo y e a tg do ângulo é o inverso do coeficiente angular da outra reta.

5. Calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo de vértices A(0,2) B(√3,5) C(0,6).

Fiz esse exercício de uma maneira mais prática, sem muitas fórmulas (mas o exercício 6 detalhará esse aspecto).

Desenhe os pontos em um esboço de plano cartesiano, ficará mais ou menos assim:

Você pode calcular então, os coeficientes angulares das 3 retas e descobrir que uma é paralela ao eixo, o que ajudará bastante.

 

Já que o segmento AC é paralelo ao eixo y, podemos traçar uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto A. Essa nova reta forma um ângulo de 90º com o segmento AC, e permite nos encontrar o ângulo CÂB. Como temos a inclinação de AB, basta reduzi-la de 90º, e encontrar que CÂB = 30º.

Temos que a inclinação de BC é de -30º, que como o coeficiente angular é negativo, representa 150º. Como estamos analisando os ângulos internos do triângulo podemos traçar uma paralela ao eixo x passando por B e calcular que a intercessão dessa com BC é de 30º (180-150). 

Ainda falta a intercessão da paralela OB com AB para completar o ângulo A^BC, que podemos calcular a partir da propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º e analisando o triângulo de baixo.

Fazemos o mesmo para o triângulo de cima e descobrimos que A^CB = 60º.

A explicação foi um pouco longa, mas com isso em mente era possível resolver o exercício rapidamente.

6. Calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo de vértices A(1,2) B(2,0) C(0,-1).

Aqui podemos utilizar a mesma propriedade do item 2, calculando a inclinação das retas e utilizando a fórmula tgTeta = |m1 - m2 / 1 + (m1*m2) | para encontrar o ângulo formado entre elas.

7. Dados A(1,0) B(4,1) e C(4,y), calcule y de modo que se tenha BÂC = 45º.

Semelhante ao item 6. A diferença é que a partir do módulo da tg entre as retas, podemos encontrar 2 possíveis valores para y, um mais "acima" e outro mais "abaixo".

8. Qual é o maior ângulo em radianos formado pelas diagonais do quadrilátero ABCD dados A(5,5) B(5,-4) C(2,-4) D(2,2).

Podemos resolvê-lo de maneira semelhante ao item 5. Desenhando um esboço de plano cartesiano, inserimos os pontos e percebemos que o maior ângulo fica em A^DC.

Como AB e CD são segmentos paralelos ao eixo y, podemos traçar uma reta passando por D que seja paralela ao eixo x.
Assim, calculando o coeficiente da reta que contém o segmento AD, descobrimos que o ângulo formado entre a paralela à x e AD é de Teta=45º.
Ainda, essa paralela à x se encontrando com CD forma um ângulo de 90º. Somando os dois temos que A^DC = 135º, mas o exercício pede em radianos. Como 45º = pi/4 e 90º = pi/2, temos que o resultado é 3pi/4.

9. Um triângulo equilátero tem 1 vértice A(0,1) e um lado na reta r: y = √3(10-x). Determine as equações das retas que contém os outros lados.

Descobrimos a altura do triângulo, que é 1-10raiz(3)  / 2. O lado, que é raiz(3)/3 - 10 e calculamos a distância para os pontos.

10. A cotangente do ângulo agudo formado pelas retas x = 3y + 7 e x = 3y + 9 é igual a?

Duas opções: ou o professor ditou errado, ou eu copiei errado, mas de acordo com os dados atuais, calculamos os coeficientes angulares das duas retas e descobrimos que elas são paralelas, logo não se cruzam e não formam um ângulo.